Funciones reales

Concepto de función

Función real de variable real es toda correspondencia f 
que asocia a cada elemento de un determinado
 subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D    

   x      f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se
llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe
el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le 
llama variable dependiente. La imagen de x se designa 
por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto 
de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Estudio del Dominio de una función

Dominio de la función polinómica entera

El dominio es R, cualquier número real tiene imagen.

Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan 
al denominador (no puede existir un número
cuyo denominador sea cero).

Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

Dominio de la función irracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que
 el radicando sea mayor o igual que cero.

Dominio de la función logarítmica

El dominio está formado por todos los valores que hacen que 
el radicando sea mayor que cero.

Dominio de la función exponencial

El dominio es R.

Dominio de la función seno

El dominio es R.

Dominio de la función coseno

El dominio es R.

Dominio de la función tangente

Dominio de la función cotangente

Dominio de la función secante

Dominio de la función cosecante

Dominio de operaciones con funciones

Gráfica de funciones

Si f es una función real, a cada par (x, y) = (x, f(x)) determinado
por la función f le corresponde en el plano cartesiano
un único punto P(x, y) = P(x, f(x)). El valor de x debe
pertenecer al dominio de definición de la función.

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio 
de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir 
una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) 
el valor de g[f(x)].

f o i = i o f = f

Función inversa o recíproca

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f⁻¹
que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f⁻¹(b) = a.

f o f ^-1 = f ^-1 o f = x

Cálculo de la función inversa

1Se escribe la ecuación de la función en x e y.

3Se intercambian las variables.

2Se despeja la variable x en función de la variable y.

Tasa de variación

El incremento de una función se llama tasa de variación,
y mide
el cambio de la función al pasar de un punto a otro.

t.v.= f(x+h) - f(x)

Función estrictamente creciente

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno 
de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva.

Función creciente

f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal 
que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es positiva o igual a cero.

Función estrictamente decreciente

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno 
de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa.

Función decreciente

f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que 
para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

La tasa de variación es negativa o igual a cero.

Función acotada superiormente

Una función f está acotada superiormente si existe un número 
real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.

El número k se llama cota superior.

Función acotada inferiormente

Una función f está acotada inferiormente si existe un
número real k′ tal
que para toda x es f(x) ≥ k′ .

El número k′ se llama cota inferior.

Función acotada

Una función esta acotada si lo está a superior e inferiormente.

k′ ≤ f(x) ≤ k

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada
 es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la
 función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es
 menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a si f(a) es
 mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b si f(b) es
 menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Simetría respecto del eje de ordenadas

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando
 para todo x del dominio se verifica:

f(-x) = f(x)

Las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas
 reciben el nombre de funciones pares.

Simetría respecto al origen

Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del
dominio se verifica:

f(-x) = -f(x)

Las funciones simétricas respecto al origen reciben el nombre 
de funciones impares.

Funciones periódicas

Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo
número entero z, se verifica:

f(x) = f(x + z T)

Si tenenos una función periódica f(x) de periodo T, la
función g(x) = f(kx) tiene de periodo: